Pourquoi les nombres premiers sont-ils si importants ?

Les nombres naturels sont ceux que nous utilisons pour compter : 1, 2, 3, 4… Un nombre premier est un nombre naturel supérieur à 1 qui n’a que deux diviseurs positifs : lui-même et 1. Ainsi, 2 est un nombre premier car il n’est divisible que par 2 et par 1. 3 est également un nombre premier pour la même raison. En revanche, 4 n’est pas un nombre premier car il est divisible par 1, 2 et 4. Il existe une infinité de nombres premiers, comme l’a démontré le mathématicien grec Euclide.

Comme vous le mentionnez dans votre question, ils sont très importants. Et ils le sont à plusieurs égards. Le premier concerne les mathématiques elles-mêmes, car ces nombres constituent la base de nombreuses branches de cette science ; par exemple, ils sont fondamentaux en théorie des nombres.

Mais ils illustrent aussi parfaitement l'évolution des mathématiques. À l'origine, leur étude visait uniquement à accroître les connaissances. Autrement dit, les nombres premiers n'étaient pas étudiés pour trouver des applications, mais simplement par curiosité, afin de mieux les comprendre. Les chercheurs se sont penchés sur leurs propriétés : existait-il une formule pour calculer les nombres premiers ? Combien de nombres premiers étaient inférieurs ou égaux à un nombre donné ? Était-il possible de les identifier par une régularité ? Comment déterminer si un grand nombre naturel était premier ? Et ainsi de suite. Les plus grands mathématiciens s'y sont intéressés. J'ai déjà cité Euclide, considéré comme le père de la géométrie, mais aussi d'autres mathématiciens grecs comme Ératosthène ; et plus récemment, Pierre de Fermat, Leonhard Euler, Gottfried Wilhelm Leibniz, et bien d'autres. Leibniz, Sophie Germaine et Carl Friedrich Gauss , parmi tant d'autres. L'hypothèse de Riemann, toujours non démontrée, est l'un des problèmes du millénaire duClay Mathematics Institute , dont la résolution est assortie d'un prix d'un million de dollars. Elle est étroitement liée aux nombres premiers.

En recherche fondamentale, qui vise à approfondir les connaissances plutôt qu'à trouver une application immédiate, la plupart du temps, une fois les connaissances acquises, une application se dessine. C'est souvent le cas en mathématiques, comme l'ont démontré les nombres premiers. Par exemple, grâce à eux, une révolution majeure a eu lieu en cryptographie, la science du chiffrement des messages pour les rendre inaccessibles aux utilisateurs non autorisés, et qui est essentielle au bon fonctionnement d'Internet et des applications que nous utilisons. Ainsi, les propriétés des nombres premiers ont ouvert la voie à des technologies aussi importantes que celles des communications, du courrier électronique et du commerce en ligne, parmi tant d'autres.

L'une des propriétés essentielles des nombres premiers pour ces applications est leur absence de régularité. Leur distribution semble imprévisible, voire aléatoire. C'est pourquoi des programmes sont utilisés pour rechercher de nouveaux nombres premiers. Certaines de ces recherches font appel à la collaboration citoyenne : chacun peut mettre son ordinateur à disposition, parmi des milliers, voire des centaines de milliers d'autres, pour participer à la recherche.

Le nombre premier possédant le plus grand nombre de chiffres trouvé à ce jour compte plus de 41 millions de chiffres et a été découvert grâce à l'un de ces programmes de collaboration citoyenne auxquels participent des volontaires de tous les pays.

Il existe d'autres questions fascinantes liées aux nombres premiers. Par exemple, je travaille avec des modèles de population. Or, il s'avère que les nombres premiers apparaissent dans le cycle de vie de certains insectes, comme le montrent les études démographiques. Certaines cigales ont un cycle de vie de 13 ou 17 ans, deux nombres premiers . Ces insectes vivent sous terre et, tous les 13 ou 17 ans, ils émergent à la surface pendant quelques jours pour se reproduire. On explique cela par un avantage évolutif, comme l'a avancé le paléontologue Stephen Jay Gould dans son ouvrage *Des bambous, des cigales et l'économie d'Adam Smith *. Si leur cycle de vie n'était pas un nombre premier (6, 8, 10, etc.), il coïnciderait avec celui de nombreux autres prédateurs, dont le cycle de vie est court et régulier.

Il y a quelque chose d'amusant avec les croquettes. Il semblerait que les nombres premiers se soient même invités dans le marketing. Souvent, lorsqu'on commande une assiette de croquettes, on nous donne un nombre premier, généralement 5, car la plupart du temps, ce nombre premier ne peut pas être divisé équitablement entre les personnes qui en ont commandé (sauf, bien sûr, s'il s'agit de 1 ou de 5), ce qui oblige à commander une autre assiette. Une autre option, bien sûr, est de les partager diplomatiquement, mais cela enlève un peu de piquant à ce petit casse-tête mathématique qu'est l'apéritif.

Victoria Otero Espinar est professeure d'analyse mathématique au département de statistique, d'analyse mathématique et d'optimisation de l'université de Saint-Jacques-de-Compostelle et chercheuse au Centre de recherche et de technologie mathématique de Galice (CITMAga) ; elle est également présidente de la Société royale espagnole de mathématiques.

Coordination et rédaction : Victoria Toro .

Question soumise par courriel par Carla Gómez Inaraja .

« Scientists Answer » est une rubrique hebdomadaire de questions-réponses scientifiques, sponsorisée par le programme « Pour les Femmes et la Science » de L’Oréal-UNESCO et Bristol Myers Squibb , qui répond aux questions des lecteurs sur la science et la technologie. Les questions sont traitées par des scientifiques et technologues femmes, membres de l’AMIT (Association of Women Researchers and Technologists). Envoyez vos questions à [email protected] ou via X #nosotrasrespondemos.